The Runtime Complexity (full) of the given CpxTRS could be proven to be BOUNDS(2^n, INF).

0 CpxTRS
↳1 DecreasingLoopProof (⇔, 1462 ms)
↳2 BOUNDS(2^n, INF)
↳3 RenamingProof (⇔, 0 ms)
↳4 CpxRelTRS
    ↳5 TypeInferenceProof (BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms)
    ↳6 typed CpxTrs
    ↳7 OrderProof (LOWER BOUND(ID), 0 ms)
    ↳8 typed CpxTrs
    ↳9 NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID), 181 ms)
    ↳10 typed CpxTrs
    ↳11 RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID), 300 ms)
    ↳12 BEST
        ↳13 typed CpxTrs
            ↳14 NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID), 0 ms)
            ↳15 typed CpxTrs
            ↳16 NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID), 93 ms)
            ↳17 typed CpxTrs
            ↳18 NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID), 94 ms)
            ↳19 typed CpxTrs
            ↳20 NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID), 64 ms)
            ↳21 typed CpxTrs
            ↳22 NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID), 0 ms)
            ↳23 typed CpxTrs
            ↳24 NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID), 69 ms)
            ↳25 typed CpxTrs
            ↳26 LowerBoundsProof (⇔, 0 ms)
            ↳27 BOUNDS(n^1, INF)
        ↳28 typed CpxTrs
            ↳29 LowerBoundsProof (⇔, 0 ms)
            ↳30 BOUNDS(n^1, INF)

(0) Obligation:

Runtime Complexity TRS:
The TRS R consists of the following rules:

U11(tt, V1, V2) → U12(isNat(activate(V1)), activate(V2))
U12(tt, V2) → U13(isNat(activate(V2)))
U13(tt) → tt
U21(tt, V1) → U22(isNat(activate(V1)))
U22(tt) → tt
U31(tt, V1, V2) → U32(isNat(activate(V1)), activate(V2))
U32(tt, V2) → U33(isNat(activate(V2)))
U33(tt) → tt
U41(tt, N) → activate(N)
U51(tt, M, N) → s(plus(activate(N), activate(M)))
U61(tt) → 0
U71(tt, M, N) → plus(x(activate(N), activate(M)), activate(N))
and(tt, X) → activate(X)
isNat(n__0) → tt
isNat(n__plus(V1, V2)) → U11(and(isNatKind(activate(V1)), n__isNatKind(activate(V2))), activate(V1), activate(V2))
isNat(n__s(V1)) → U21(isNatKind(activate(V1)), activate(V1))
isNat(n__x(V1, V2)) → U31(and(isNatKind(activate(V1)), n__isNatKind(activate(V2))), activate(V1), activate(V2))
isNatKind(n__0) → tt
isNatKind(n__plus(V1, V2)) → and(isNatKind(activate(V1)), n__isNatKind(activate(V2)))
isNatKind(n__s(V1)) → isNatKind(activate(V1))
isNatKind(n__x(V1, V2)) → and(isNatKind(activate(V1)), n__isNatKind(activate(V2)))
plus(N, 0) → U41(and(isNat(N), n__isNatKind(N)), N)
plus(N, s(M)) → U51(and(and(isNat(M), n__isNatKind(M)), n__and(n__isNat(N), n__isNatKind(N))), M, N)
x(N, 0) → U61(and(isNat(N), n__isNatKind(N)))
x(N, s(M)) → U71(and(and(isNat(M), n__isNatKind(M)), n__and(n__isNat(N), n__isNatKind(N))), M, N)
0 → n__0
plus(X1, X2) → n__plus(X1, X2)
isNatKind(X) → n__isNatKind(X)
s(X) → n__s(X)
x(X1, X2) → n__x(X1, X2)
and(X1, X2) → n__and(X1, X2)
isNat(X) → n__isNat(X)
activate(n__0) → 0
activate(n__plus(X1, X2)) → plus(activate(X1), activate(X2))
activate(n__isNatKind(X)) → isNatKind(X)
activate(n__s(X)) → s(activate(X))
activate(n__x(X1, X2)) → x(activate(X1), activate(X2))
activate(n__and(X1, X2)) → and(activate(X1), X2)
activate(n__isNat(X)) → isNat(X)
activate(X) → X

Rewrite Strategy: FULL

(1) DecreasingLoopProof (EQUIVALENT transformation)

The following loop(s) give(s) rise to the lower bound Ω(2n):
The rewrite sequence
isNat(n__plus(n__isNat(X105167_4), V2)) →+ U11(and(isNatKind(isNat(X105167_4)), n__isNatKind(activate(V2))), isNat(X105167_4), activate(V2))
gives rise to a decreasing loop by considering the right hand sides subterm at position [0,0,0].
The pumping substitution is [X105167_4 / n__plus(n__isNat(X105167_4), V2)].
The result substitution is [ ].

The rewrite sequence
isNat(n__plus(n__isNat(X105167_4), V2)) →+ U11(and(isNatKind(isNat(X105167_4)), n__isNatKind(activate(V2))), isNat(X105167_4), activate(V2))
gives rise to a decreasing loop by considering the right hand sides subterm at position [1].
The pumping substitution is [X105167_4 / n__plus(n__isNat(X105167_4), V2)].
The result substitution is [ ].

(2) BOUNDS(2^n, INF)

(3) RenamingProof (EQUIVALENT transformation)

Renamed function symbols to avoid clashes with predefined symbol.

(4) Obligation:

Runtime Complexity Relative TRS:
The TRS R consists of the following rules:

U11(tt, V1, V2) → U12(isNat(activate(V1)), activate(V2))
U12(tt, V2) → U13(isNat(activate(V2)))
U13(tt) → tt
U21(tt, V1) → U22(isNat(activate(V1)))
U22(tt) → tt
U31(tt, V1, V2) → U32(isNat(activate(V1)), activate(V2))
U32(tt, V2) → U33(isNat(activate(V2)))
U33(tt) → tt
U41(tt, N) → activate(N)
U51(tt, M, N) → s(plus(activate(N), activate(M)))
U61(tt) → 0'
U71(tt, M, N) → plus(x(activate(N), activate(M)), activate(N))
and(tt, X) → activate(X)
isNat(n__0) → tt
isNat(n__plus(V1, V2)) → U11(and(isNatKind(activate(V1)), n__isNatKind(activate(V2))), activate(V1), activate(V2))
isNat(n__s(V1)) → U21(isNatKind(activate(V1)), activate(V1))
isNat(n__x(V1, V2)) → U31(and(isNatKind(activate(V1)), n__isNatKind(activate(V2))), activate(V1), activate(V2))
isNatKind(n__0) → tt
isNatKind(n__plus(V1, V2)) → and(isNatKind(activate(V1)), n__isNatKind(activate(V2)))
isNatKind(n__s(V1)) → isNatKind(activate(V1))
isNatKind(n__x(V1, V2)) → and(isNatKind(activate(V1)), n__isNatKind(activate(V2)))
plus(N, 0') → U41(and(isNat(N), n__isNatKind(N)), N)
plus(N, s(M)) → U51(and(and(isNat(M), n__isNatKind(M)), n__and(n__isNat(N), n__isNatKind(N))), M, N)
x(N, 0') → U61(and(isNat(N), n__isNatKind(N)))
x(N, s(M)) → U71(and(and(isNat(M), n__isNatKind(M)), n__and(n__isNat(N), n__isNatKind(N))), M, N)
0' → n__0
plus(X1, X2) → n__plus(X1, X2)
isNatKind(X) → n__isNatKind(X)
s(X) → n__s(X)
x(X1, X2) → n__x(X1, X2)
and(X1, X2) → n__and(X1, X2)
isNat(X) → n__isNat(X)
activate(n__0) → 0'
activate(n__plus(X1, X2)) → plus(activate(X1), activate(X2))
activate(n__isNatKind(X)) → isNatKind(X)
activate(n__s(X)) → s(activate(X))
activate(n__x(X1, X2)) → x(activate(X1), activate(X2))
activate(n__and(X1, X2)) → and(activate(X1), X2)
activate(n__isNat(X)) → isNat(X)
activate(X) → X

S is empty.
Rewrite Strategy: FULL

(5) TypeInferenceProof (BOTH BOUNDS(ID, ID) transformation)

Infered types.

(6) Obligation:

TRS:
Rules:
U11(tt, V1, V2) → U12(isNat(activate(V1)), activate(V2))
U12(tt, V2) → U13(isNat(activate(V2)))
U13(tt) → tt
U21(tt, V1) → U22(isNat(activate(V1)))
U22(tt) → tt
U31(tt, V1, V2) → U32(isNat(activate(V1)), activate(V2))
U32(tt, V2) → U33(isNat(activate(V2)))
U33(tt) → tt
U41(tt, N) → activate(N)
U51(tt, M, N) → s(plus(activate(N), activate(M)))
U61(tt) → 0'
U71(tt, M, N) → plus(x(activate(N), activate(M)), activate(N))
and(tt, X) → activate(X)
isNat(n__0) → tt
isNat(n__plus(V1, V2)) → U11(and(isNatKind(activate(V1)), n__isNatKind(activate(V2))), activate(V1), activate(V2))
isNat(n__s(V1)) → U21(isNatKind(activate(V1)), activate(V1))
isNat(n__x(V1, V2)) → U31(and(isNatKind(activate(V1)), n__isNatKind(activate(V2))), activate(V1), activate(V2))
isNatKind(n__0) → tt
isNatKind(n__plus(V1, V2)) → and(isNatKind(activate(V1)), n__isNatKind(activate(V2)))
isNatKind(n__s(V1)) → isNatKind(activate(V1))
isNatKind(n__x(V1, V2)) → and(isNatKind(activate(V1)), n__isNatKind(activate(V2)))
plus(N, 0') → U41(and(isNat(N), n__isNatKind(N)), N)
plus(N, s(M)) → U51(and(and(isNat(M), n__isNatKind(M)), n__and(n__isNat(N), n__isNatKind(N))), M, N)
x(N, 0') → U61(and(isNat(N), n__isNatKind(N)))
x(N, s(M)) → U71(and(and(isNat(M), n__isNatKind(M)), n__and(n__isNat(N), n__isNatKind(N))), M, N)
0' → n__0
plus(X1, X2) → n__plus(X1, X2)
isNatKind(X) → n__isNatKind(X)
s(X) → n__s(X)
x(X1, X2) → n__x(X1, X2)
and(X1, X2) → n__and(X1, X2)
isNat(X) → n__isNat(X)
activate(n__0) → 0'
activate(n__plus(X1, X2)) → plus(activate(X1), activate(X2))
activate(n__isNatKind(X)) → isNatKind(X)
activate(n__s(X)) → s(activate(X))
activate(n__x(X1, X2)) → x(activate(X1), activate(X2))
activate(n__and(X1, X2)) → and(activate(X1), X2)
activate(n__isNat(X)) → isNat(X)
activate(X) → X

Types:
U11 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and
tt :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and
U12 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and
isNat :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and
activate :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and
U13 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and
U21 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and
U22 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and
U31 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and
U32 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and
U33 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and
U41 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and
U51 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and
s :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and
plus :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and
U61 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and
0' :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and
U71 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and
x :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and
and :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and
n__0 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and
n__plus :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and
isNatKind :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and
n__isNatKind :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and
n__s :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and
n__x :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and
n__and :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and
n__isNat :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and
hole_tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and1_4 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and
gen_tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and2_4 :: Nat → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and

(7) OrderProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Heuristically decided to analyse the following defined symbols:
isNat, activate, U41, plus, x, and, isNatKind

They will be analysed ascendingly in the following order:
isNat = activate
isNat = U41
isNat = plus
isNat = x
isNat = and
isNat = isNatKind
activate = U41
activate = plus
activate = x
activate = and
activate = isNatKind
U41 = plus
U41 = x
U41 = and
U41 = isNatKind
plus = x
plus = and
plus = isNatKind
x = and
x = isNatKind
and = isNatKind

(8) Obligation:

TRS:
Rules:
U11(tt, V1, V2) → U12(isNat(activate(V1)), activate(V2))
U12(tt, V2) → U13(isNat(activate(V2)))
U13(tt) → tt
U21(tt, V1) → U22(isNat(activate(V1)))
U22(tt) → tt
U31(tt, V1, V2) → U32(isNat(activate(V1)), activate(V2))
U32(tt, V2) → U33(isNat(activate(V2)))
U33(tt) → tt
U41(tt, N) → activate(N)
U51(tt, M, N) → s(plus(activate(N), activate(M)))
U61(tt) → 0'
U71(tt, M, N) → plus(x(activate(N), activate(M)), activate(N))
and(tt, X) → activate(X)
isNat(n__0) → tt
isNat(n__plus(V1, V2)) → U11(and(isNatKind(activate(V1)), n__isNatKind(activate(V2))), activate(V1), activate(V2))
isNat(n__s(V1)) → U21(isNatKind(activate(V1)), activate(V1))
isNat(n__x(V1, V2)) → U31(and(isNatKind(activate(V1)), n__isNatKind(activate(V2))), activate(V1), activate(V2))
isNatKind(n__0) → tt
isNatKind(n__plus(V1, V2)) → and(isNatKind(activate(V1)), n__isNatKind(activate(V2)))
isNatKind(n__s(V1)) → isNatKind(activate(V1))
isNatKind(n__x(V1, V2)) → and(isNatKind(activate(V1)), n__isNatKind(activate(V2)))
plus(N, 0') → U41(and(isNat(N), n__isNatKind(N)), N)
plus(N, s(M)) → U51(and(and(isNat(M), n__isNatKind(M)), n__and(n__isNat(N), n__isNatKind(N))), M, N)
x(N, 0') → U61(and(isNat(N), n__isNatKind(N)))
x(N, s(M)) → U71(and(and(isNat(M), n__isNatKind(M)), n__and(n__isNat(N), n__isNatKind(N))), M, N)
0' → n__0
plus(X1, X2) → n__plus(X1, X2)
isNatKind(X) → n__isNatKind(X)
s(X) → n__s(X)
x(X1, X2) → n__x(X1, X2)
and(X1, X2) → n__and(X1, X2)
isNat(X) → n__isNat(X)
activate(n__0) → 0'
activate(n__plus(X1, X2)) → plus(activate(X1), activate(X2))
activate(n__isNatKind(X)) → isNatKind(X)
activate(n__s(X)) → s(activate(X))
activate(n__x(X1, X2)) → x(activate(X1), activate(X2))
activate(n__and(X1, X2)) → and(activate(X1), X2)
activate(n__isNat(X)) → isNat(X)
activate(X) → X

Types:
U11 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and
tt :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and
U12 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and
isNat :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and
activate :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and
U13 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and
U21 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and
U22 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and
U31 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and
U32 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and
U33 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and
U41 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and
U51 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and
s :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and
plus :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and
U61 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and
0' :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and
U71 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and
x :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and
and :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and
n__0 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and
n__plus :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and
isNatKind :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and
n__isNatKind :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and
n__s :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and
n__x :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and
n__and :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and
n__isNat :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and
hole_tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and1_4 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and
gen_tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and2_4 :: Nat → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and

Generator Equations:
gen_tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and2_4(0) ⇔ tt
gen_tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and2_4(+(x, 1)) ⇔ n__plus(gen_tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and2_4(x), tt)

The following defined symbols remain to be analysed:
and, isNat, activate, U41, plus, x, isNatKind

They will be analysed ascendingly in the following order:
isNat = activate
isNat = U41
isNat = plus
isNat = x
isNat = and
isNat = isNatKind
activate = U41
activate = plus
activate = x
activate = and
activate = isNatKind
U41 = plus
U41 = x
U41 = and
U41 = isNatKind
plus = x
plus = and
plus = isNatKind
x = and
x = isNatKind
and = isNatKind

(9) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol and.

(10) Obligation:

TRS:
Rules:
U11(tt, V1, V2) → U12(isNat(activate(V1)), activate(V2))
U12(tt, V2) → U13(isNat(activate(V2)))
U13(tt) → tt
U21(tt, V1) → U22(isNat(activate(V1)))
U22(tt) → tt
U31(tt, V1, V2) → U32(isNat(activate(V1)), activate(V2))
U32(tt, V2) → U33(isNat(activate(V2)))
U33(tt) → tt
U41(tt, N) → activate(N)
U51(tt, M, N) → s(plus(activate(N), activate(M)))
U61(tt) → 0'
U71(tt, M, N) → plus(x(activate(N), activate(M)), activate(N))
and(tt, X) → activate(X)
isNat(n__0) → tt
isNat(n__plus(V1, V2)) → U11(and(isNatKind(activate(V1)), n__isNatKind(activate(V2))), activate(V1), activate(V2))
isNat(n__s(V1)) → U21(isNatKind(activate(V1)), activate(V1))
isNat(n__x(V1, V2)) → U31(and(isNatKind(activate(V1)), n__isNatKind(activate(V2))), activate(V1), activate(V2))
isNatKind(n__0) → tt
isNatKind(n__plus(V1, V2)) → and(isNatKind(activate(V1)), n__isNatKind(activate(V2)))
isNatKind(n__s(V1)) → isNatKind(activate(V1))
isNatKind(n__x(V1, V2)) → and(isNatKind(activate(V1)), n__isNatKind(activate(V2)))
plus(N, 0') → U41(and(isNat(N), n__isNatKind(N)), N)
plus(N, s(M)) → U51(and(and(isNat(M), n__isNatKind(M)), n__and(n__isNat(N), n__isNatKind(N))), M, N)
x(N, 0') → U61(and(isNat(N), n__isNatKind(N)))
x(N, s(M)) → U71(and(and(isNat(M), n__isNatKind(M)), n__and(n__isNat(N), n__isNatKind(N))), M, N)
0' → n__0
plus(X1, X2) → n__plus(X1, X2)
isNatKind(X) → n__isNatKind(X)
s(X) → n__s(X)
x(X1, X2) → n__x(X1, X2)
and(X1, X2) → n__and(X1, X2)
isNat(X) → n__isNat(X)
activate(n__0) → 0'
activate(n__plus(X1, X2)) → plus(activate(X1), activate(X2))
activate(n__isNatKind(X)) → isNatKind(X)
activate(n__s(X)) → s(activate(X))
activate(n__x(X1, X2)) → x(activate(X1), activate(X2))
activate(n__and(X1, X2)) → and(activate(X1), X2)
activate(n__isNat(X)) → isNat(X)
activate(X) → X

Types:
U11 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and
tt :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and
U12 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and
isNat :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and
activate :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and
U13 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and
U21 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and
U22 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and
U31 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and
U32 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and
U33 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and
U41 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and
U51 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and
s :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and
plus :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and
U61 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and
0' :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and
U71 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and
x :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and
and :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and
n__0 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and
n__plus :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and
isNatKind :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and
n__isNatKind :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and
n__s :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and
n__x :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and
n__and :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and
n__isNat :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and
hole_tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and1_4 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and
gen_tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and2_4 :: Nat → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and

Generator Equations:
gen_tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and2_4(0) ⇔ tt
gen_tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and2_4(+(x, 1)) ⇔ n__plus(gen_tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and2_4(x), tt)

The following defined symbols remain to be analysed:
activate, isNat, U41, plus, x, isNatKind

They will be analysed ascendingly in the following order:
isNat = activate
isNat = U41
isNat = plus
isNat = x
isNat = and
isNat = isNatKind
activate = U41
activate = plus
activate = x
activate = and
activate = isNatKind
U41 = plus
U41 = x
U41 = and
U41 = isNatKind
plus = x
plus = and
plus = isNatKind
x = and
x = isNatKind
and = isNatKind

(11) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Proved the following rewrite lemma:
activate(gen_tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and2_4(+(1, n27714_4))) → *3_4, rt ∈ Ω(n277144)

Induction Base:
activate(gen_tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and2_4(+(1, 0)))

Induction Step:
activate(gen_tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and2_4(+(1, +(n27714_4, 1)))) →RΩ(1)
plus(activate(gen_tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and2_4(+(1, n27714_4))), activate(tt)) →IH
plus(*3_4, activate(tt)) →RΩ(1)
plus(*3_4, tt)

We have rt ∈ Ω(n1) and sz ∈ O(n). Thus, we have ircR ∈ Ω(n).

(12) Complex Obligation (BEST)

(13) Obligation:

TRS:
Rules:
U11(tt, V1, V2) → U12(isNat(activate(V1)), activate(V2))
U12(tt, V2) → U13(isNat(activate(V2)))
U13(tt) → tt
U21(tt, V1) → U22(isNat(activate(V1)))
U22(tt) → tt
U31(tt, V1, V2) → U32(isNat(activate(V1)), activate(V2))
U32(tt, V2) → U33(isNat(activate(V2)))
U33(tt) → tt
U41(tt, N) → activate(N)
U51(tt, M, N) → s(plus(activate(N), activate(M)))
U61(tt) → 0'
U71(tt, M, N) → plus(x(activate(N), activate(M)), activate(N))
and(tt, X) → activate(X)
isNat(n__0) → tt
isNat(n__plus(V1, V2)) → U11(and(isNatKind(activate(V1)), n__isNatKind(activate(V2))), activate(V1), activate(V2))
isNat(n__s(V1)) → U21(isNatKind(activate(V1)), activate(V1))
isNat(n__x(V1, V2)) → U31(and(isNatKind(activate(V1)), n__isNatKind(activate(V2))), activate(V1), activate(V2))
isNatKind(n__0) → tt
isNatKind(n__plus(V1, V2)) → and(isNatKind(activate(V1)), n__isNatKind(activate(V2)))
isNatKind(n__s(V1)) → isNatKind(activate(V1))
isNatKind(n__x(V1, V2)) → and(isNatKind(activate(V1)), n__isNatKind(activate(V2)))
plus(N, 0') → U41(and(isNat(N), n__isNatKind(N)), N)
plus(N, s(M)) → U51(and(and(isNat(M), n__isNatKind(M)), n__and(n__isNat(N), n__isNatKind(N))), M, N)
x(N, 0') → U61(and(isNat(N), n__isNatKind(N)))
x(N, s(M)) → U71(and(and(isNat(M), n__isNatKind(M)), n__and(n__isNat(N), n__isNatKind(N))), M, N)
0' → n__0
plus(X1, X2) → n__plus(X1, X2)
isNatKind(X) → n__isNatKind(X)
s(X) → n__s(X)
x(X1, X2) → n__x(X1, X2)
and(X1, X2) → n__and(X1, X2)
isNat(X) → n__isNat(X)
activate(n__0) → 0'
activate(n__plus(X1, X2)) → plus(activate(X1), activate(X2))
activate(n__isNatKind(X)) → isNatKind(X)
activate(n__s(X)) → s(activate(X))
activate(n__x(X1, X2)) → x(activate(X1), activate(X2))
activate(n__and(X1, X2)) → and(activate(X1), X2)
activate(n__isNat(X)) → isNat(X)
activate(X) → X

Types:
U11 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and
tt :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and
U12 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and
isNat :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and
activate :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and
U13 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and
U21 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and
U22 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and
U31 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and
U32 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and
U33 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and
U41 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and
U51 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and
s :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and
plus :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and
U61 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and
0' :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and
U71 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and
x :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and
and :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and
n__0 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and
n__plus :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and
isNatKind :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and
n__isNatKind :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and
n__s :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and
n__x :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and
n__and :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and
n__isNat :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and
hole_tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and1_4 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and
gen_tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and2_4 :: Nat → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and

Lemmas:
activate(gen_tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and2_4(+(1, n27714_4))) → *3_4, rt ∈ Ω(n277144)

Generator Equations:
gen_tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and2_4(0) ⇔ tt
gen_tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and2_4(+(x, 1)) ⇔ n__plus(gen_tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and2_4(x), tt)

The following defined symbols remain to be analysed:
plus, isNat, U41, x, and, isNatKind

They will be analysed ascendingly in the following order:
isNat = activate
isNat = U41
isNat = plus
isNat = x
isNat = and
isNat = isNatKind
activate = U41
activate = plus
activate = x
activate = and
activate = isNatKind
U41 = plus
U41 = x
U41 = and
U41 = isNatKind
plus = x
plus = and
plus = isNatKind
x = and
x = isNatKind
and = isNatKind

(14) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol plus.

(15) Obligation:

TRS:
Rules:
U11(tt, V1, V2) → U12(isNat(activate(V1)), activate(V2))
U12(tt, V2) → U13(isNat(activate(V2)))
U13(tt) → tt
U21(tt, V1) → U22(isNat(activate(V1)))
U22(tt) → tt
U31(tt, V1, V2) → U32(isNat(activate(V1)), activate(V2))
U32(tt, V2) → U33(isNat(activate(V2)))
U33(tt) → tt
U41(tt, N) → activate(N)
U51(tt, M, N) → s(plus(activate(N), activate(M)))
U61(tt) → 0'
U71(tt, M, N) → plus(x(activate(N), activate(M)), activate(N))
and(tt, X) → activate(X)
isNat(n__0) → tt
isNat(n__plus(V1, V2)) → U11(and(isNatKind(activate(V1)), n__isNatKind(activate(V2))), activate(V1), activate(V2))
isNat(n__s(V1)) → U21(isNatKind(activate(V1)), activate(V1))
isNat(n__x(V1, V2)) → U31(and(isNatKind(activate(V1)), n__isNatKind(activate(V2))), activate(V1), activate(V2))
isNatKind(n__0) → tt
isNatKind(n__plus(V1, V2)) → and(isNatKind(activate(V1)), n__isNatKind(activate(V2)))
isNatKind(n__s(V1)) → isNatKind(activate(V1))
isNatKind(n__x(V1, V2)) → and(isNatKind(activate(V1)), n__isNatKind(activate(V2)))
plus(N, 0') → U41(and(isNat(N), n__isNatKind(N)), N)
plus(N, s(M)) → U51(and(and(isNat(M), n__isNatKind(M)), n__and(n__isNat(N), n__isNatKind(N))), M, N)
x(N, 0') → U61(and(isNat(N), n__isNatKind(N)))
x(N, s(M)) → U71(and(and(isNat(M), n__isNatKind(M)), n__and(n__isNat(N), n__isNatKind(N))), M, N)
0' → n__0
plus(X1, X2) → n__plus(X1, X2)
isNatKind(X) → n__isNatKind(X)
s(X) → n__s(X)
x(X1, X2) → n__x(X1, X2)
and(X1, X2) → n__and(X1, X2)
isNat(X) → n__isNat(X)
activate(n__0) → 0'
activate(n__plus(X1, X2)) → plus(activate(X1), activate(X2))
activate(n__isNatKind(X)) → isNatKind(X)
activate(n__s(X)) → s(activate(X))
activate(n__x(X1, X2)) → x(activate(X1), activate(X2))
activate(n__and(X1, X2)) → and(activate(X1), X2)
activate(n__isNat(X)) → isNat(X)
activate(X) → X

Types:
U11 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and
tt :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and
U12 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and
isNat :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and
activate :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and
U13 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and
U21 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and
U22 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and
U31 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and
U32 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and
U33 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and
U41 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and
U51 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and
s :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and
plus :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and
U61 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and
0' :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and
U71 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and
x :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and
and :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and
n__0 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and
n__plus :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and
isNatKind :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and
n__isNatKind :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and
n__s :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and
n__x :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and
n__and :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and
n__isNat :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and
hole_tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and1_4 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and
gen_tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and2_4 :: Nat → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and

Lemmas:
activate(gen_tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and2_4(+(1, n27714_4))) → *3_4, rt ∈ Ω(n277144)

Generator Equations:
gen_tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and2_4(0) ⇔ tt
gen_tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and2_4(+(x, 1)) ⇔ n__plus(gen_tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and2_4(x), tt)

The following defined symbols remain to be analysed:
U41, isNat, x, and, isNatKind

They will be analysed ascendingly in the following order:
isNat = activate
isNat = U41
isNat = plus
isNat = x
isNat = and
isNat = isNatKind
activate = U41
activate = plus
activate = x
activate = and
activate = isNatKind
U41 = plus
U41 = x
U41 = and
U41 = isNatKind
plus = x
plus = and
plus = isNatKind
x = and
x = isNatKind
and = isNatKind

(16) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol U41.

(17) Obligation:

TRS:
Rules:
U11(tt, V1, V2) → U12(isNat(activate(V1)), activate(V2))
U12(tt, V2) → U13(isNat(activate(V2)))
U13(tt) → tt
U21(tt, V1) → U22(isNat(activate(V1)))
U22(tt) → tt
U31(tt, V1, V2) → U32(isNat(activate(V1)), activate(V2))
U32(tt, V2) → U33(isNat(activate(V2)))
U33(tt) → tt
U41(tt, N) → activate(N)
U51(tt, M, N) → s(plus(activate(N), activate(M)))
U61(tt) → 0'
U71(tt, M, N) → plus(x(activate(N), activate(M)), activate(N))
and(tt, X) → activate(X)
isNat(n__0) → tt
isNat(n__plus(V1, V2)) → U11(and(isNatKind(activate(V1)), n__isNatKind(activate(V2))), activate(V1), activate(V2))
isNat(n__s(V1)) → U21(isNatKind(activate(V1)), activate(V1))
isNat(n__x(V1, V2)) → U31(and(isNatKind(activate(V1)), n__isNatKind(activate(V2))), activate(V1), activate(V2))
isNatKind(n__0) → tt
isNatKind(n__plus(V1, V2)) → and(isNatKind(activate(V1)), n__isNatKind(activate(V2)))
isNatKind(n__s(V1)) → isNatKind(activate(V1))
isNatKind(n__x(V1, V2)) → and(isNatKind(activate(V1)), n__isNatKind(activate(V2)))
plus(N, 0') → U41(and(isNat(N), n__isNatKind(N)), N)
plus(N, s(M)) → U51(and(and(isNat(M), n__isNatKind(M)), n__and(n__isNat(N), n__isNatKind(N))), M, N)
x(N, 0') → U61(and(isNat(N), n__isNatKind(N)))
x(N, s(M)) → U71(and(and(isNat(M), n__isNatKind(M)), n__and(n__isNat(N), n__isNatKind(N))), M, N)
0' → n__0
plus(X1, X2) → n__plus(X1, X2)
isNatKind(X) → n__isNatKind(X)
s(X) → n__s(X)
x(X1, X2) → n__x(X1, X2)
and(X1, X2) → n__and(X1, X2)
isNat(X) → n__isNat(X)
activate(n__0) → 0'
activate(n__plus(X1, X2)) → plus(activate(X1), activate(X2))
activate(n__isNatKind(X)) → isNatKind(X)
activate(n__s(X)) → s(activate(X))
activate(n__x(X1, X2)) → x(activate(X1), activate(X2))
activate(n__and(X1, X2)) → and(activate(X1), X2)
activate(n__isNat(X)) → isNat(X)
activate(X) → X

Types:
U11 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and
tt :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and
U12 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and
isNat :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and
activate :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and
U13 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and
U21 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and
U22 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and
U31 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and
U32 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and
U33 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and
U41 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and
U51 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and
s :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and
plus :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and
U61 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and
0' :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and
U71 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and
x :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and
and :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and
n__0 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and
n__plus :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and
isNatKind :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and
n__isNatKind :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and
n__s :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and
n__x :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and
n__and :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and
n__isNat :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and
hole_tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and1_4 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and
gen_tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and2_4 :: Nat → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and

Lemmas:
activate(gen_tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and2_4(+(1, n27714_4))) → *3_4, rt ∈ Ω(n277144)

Generator Equations:
gen_tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and2_4(0) ⇔ tt
gen_tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and2_4(+(x, 1)) ⇔ n__plus(gen_tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and2_4(x), tt)

The following defined symbols remain to be analysed:
isNat, x, and, isNatKind

They will be analysed ascendingly in the following order:
isNat = activate
isNat = U41
isNat = plus
isNat = x
isNat = and
isNat = isNatKind
activate = U41
activate = plus
activate = x
activate = and
activate = isNatKind
U41 = plus
U41 = x
U41 = and
U41 = isNatKind
plus = x
plus = and
plus = isNatKind
x = and
x = isNatKind
and = isNatKind

(18) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol isNat.

(19) Obligation:

TRS:
Rules:
U11(tt, V1, V2) → U12(isNat(activate(V1)), activate(V2))
U12(tt, V2) → U13(isNat(activate(V2)))
U13(tt) → tt
U21(tt, V1) → U22(isNat(activate(V1)))
U22(tt) → tt
U31(tt, V1, V2) → U32(isNat(activate(V1)), activate(V2))
U32(tt, V2) → U33(isNat(activate(V2)))
U33(tt) → tt
U41(tt, N) → activate(N)
U51(tt, M, N) → s(plus(activate(N), activate(M)))
U61(tt) → 0'
U71(tt, M, N) → plus(x(activate(N), activate(M)), activate(N))
and(tt, X) → activate(X)
isNat(n__0) → tt
isNat(n__plus(V1, V2)) → U11(and(isNatKind(activate(V1)), n__isNatKind(activate(V2))), activate(V1), activate(V2))
isNat(n__s(V1)) → U21(isNatKind(activate(V1)), activate(V1))
isNat(n__x(V1, V2)) → U31(and(isNatKind(activate(V1)), n__isNatKind(activate(V2))), activate(V1), activate(V2))
isNatKind(n__0) → tt
isNatKind(n__plus(V1, V2)) → and(isNatKind(activate(V1)), n__isNatKind(activate(V2)))
isNatKind(n__s(V1)) → isNatKind(activate(V1))
isNatKind(n__x(V1, V2)) → and(isNatKind(activate(V1)), n__isNatKind(activate(V2)))
plus(N, 0') → U41(and(isNat(N), n__isNatKind(N)), N)
plus(N, s(M)) → U51(and(and(isNat(M), n__isNatKind(M)), n__and(n__isNat(N), n__isNatKind(N))), M, N)
x(N, 0') → U61(and(isNat(N), n__isNatKind(N)))
x(N, s(M)) → U71(and(and(isNat(M), n__isNatKind(M)), n__and(n__isNat(N), n__isNatKind(N))), M, N)
0' → n__0
plus(X1, X2) → n__plus(X1, X2)
isNatKind(X) → n__isNatKind(X)
s(X) → n__s(X)
x(X1, X2) → n__x(X1, X2)
and(X1, X2) → n__and(X1, X2)
isNat(X) → n__isNat(X)
activate(n__0) → 0'
activate(n__plus(X1, X2)) → plus(activate(X1), activate(X2))
activate(n__isNatKind(X)) → isNatKind(X)
activate(n__s(X)) → s(activate(X))
activate(n__x(X1, X2)) → x(activate(X1), activate(X2))
activate(n__and(X1, X2)) → and(activate(X1), X2)
activate(n__isNat(X)) → isNat(X)
activate(X) → X

Types:
U11 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and
tt :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and
U12 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and
isNat :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and
activate :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and
U13 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and
U21 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and
U22 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and
U31 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and
U32 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and
U33 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and
U41 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and
U51 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and
s :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and
plus :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and
U61 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and
0' :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and
U71 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and
x :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and
and :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and
n__0 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and
n__plus :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and
isNatKind :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and
n__isNatKind :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and
n__s :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and
n__x :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and
n__and :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and
n__isNat :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and
hole_tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and1_4 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and
gen_tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and2_4 :: Nat → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and

Lemmas:
activate(gen_tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and2_4(+(1, n27714_4))) → *3_4, rt ∈ Ω(n277144)

Generator Equations:
gen_tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and2_4(0) ⇔ tt
gen_tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and2_4(+(x, 1)) ⇔ n__plus(gen_tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and2_4(x), tt)

The following defined symbols remain to be analysed:
isNatKind, x, and

They will be analysed ascendingly in the following order:
isNat = activate
isNat = U41
isNat = plus
isNat = x
isNat = and
isNat = isNatKind
activate = U41
activate = plus
activate = x
activate = and
activate = isNatKind
U41 = plus
U41 = x
U41 = and
U41 = isNatKind
plus = x
plus = and
plus = isNatKind
x = and
x = isNatKind
and = isNatKind

(20) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol isNatKind.

(21) Obligation:

TRS:
Rules:
U11(tt, V1, V2) → U12(isNat(activate(V1)), activate(V2))
U12(tt, V2) → U13(isNat(activate(V2)))
U13(tt) → tt
U21(tt, V1) → U22(isNat(activate(V1)))
U22(tt) → tt
U31(tt, V1, V2) → U32(isNat(activate(V1)), activate(V2))
U32(tt, V2) → U33(isNat(activate(V2)))
U33(tt) → tt
U41(tt, N) → activate(N)
U51(tt, M, N) → s(plus(activate(N), activate(M)))
U61(tt) → 0'
U71(tt, M, N) → plus(x(activate(N), activate(M)), activate(N))
and(tt, X) → activate(X)
isNat(n__0) → tt
isNat(n__plus(V1, V2)) → U11(and(isNatKind(activate(V1)), n__isNatKind(activate(V2))), activate(V1), activate(V2))
isNat(n__s(V1)) → U21(isNatKind(activate(V1)), activate(V1))
isNat(n__x(V1, V2)) → U31(and(isNatKind(activate(V1)), n__isNatKind(activate(V2))), activate(V1), activate(V2))
isNatKind(n__0) → tt
isNatKind(n__plus(V1, V2)) → and(isNatKind(activate(V1)), n__isNatKind(activate(V2)))
isNatKind(n__s(V1)) → isNatKind(activate(V1))
isNatKind(n__x(V1, V2)) → and(isNatKind(activate(V1)), n__isNatKind(activate(V2)))
plus(N, 0') → U41(and(isNat(N), n__isNatKind(N)), N)
plus(N, s(M)) → U51(and(and(isNat(M), n__isNatKind(M)), n__and(n__isNat(N), n__isNatKind(N))), M, N)
x(N, 0') → U61(and(isNat(N), n__isNatKind(N)))
x(N, s(M)) → U71(and(and(isNat(M), n__isNatKind(M)), n__and(n__isNat(N), n__isNatKind(N))), M, N)
0' → n__0
plus(X1, X2) → n__plus(X1, X2)
isNatKind(X) → n__isNatKind(X)
s(X) → n__s(X)
x(X1, X2) → n__x(X1, X2)
and(X1, X2) → n__and(X1, X2)
isNat(X) → n__isNat(X)
activate(n__0) → 0'
activate(n__plus(X1, X2)) → plus(activate(X1), activate(X2))
activate(n__isNatKind(X)) → isNatKind(X)
activate(n__s(X)) → s(activate(X))
activate(n__x(X1, X2)) → x(activate(X1), activate(X2))
activate(n__and(X1, X2)) → and(activate(X1), X2)
activate(n__isNat(X)) → isNat(X)
activate(X) → X

Types:
U11 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and
tt :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and
U12 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and
isNat :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and
activate :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and
U13 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and
U21 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and
U22 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and
U31 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and
U32 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and
U33 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and
U41 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and
U51 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and
s :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and
plus :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and
U61 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and
0' :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and
U71 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and
x :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and
and :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and
n__0 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and
n__plus :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and
isNatKind :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and
n__isNatKind :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and
n__s :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and
n__x :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and
n__and :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and
n__isNat :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and
hole_tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and1_4 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and
gen_tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and2_4 :: Nat → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and

Lemmas:
activate(gen_tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and2_4(+(1, n27714_4))) → *3_4, rt ∈ Ω(n277144)

Generator Equations:
gen_tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and2_4(0) ⇔ tt
gen_tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and2_4(+(x, 1)) ⇔ n__plus(gen_tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and2_4(x), tt)

The following defined symbols remain to be analysed:
x, and

They will be analysed ascendingly in the following order:
isNat = activate
isNat = U41
isNat = plus
isNat = x
isNat = and
isNat = isNatKind
activate = U41
activate = plus
activate = x
activate = and
activate = isNatKind
U41 = plus
U41 = x
U41 = and
U41 = isNatKind
plus = x
plus = and
plus = isNatKind
x = and
x = isNatKind
and = isNatKind

(22) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol x.

(23) Obligation:

TRS:
Rules:
U11(tt, V1, V2) → U12(isNat(activate(V1)), activate(V2))
U12(tt, V2) → U13(isNat(activate(V2)))
U13(tt) → tt
U21(tt, V1) → U22(isNat(activate(V1)))
U22(tt) → tt
U31(tt, V1, V2) → U32(isNat(activate(V1)), activate(V2))
U32(tt, V2) → U33(isNat(activate(V2)))
U33(tt) → tt
U41(tt, N) → activate(N)
U51(tt, M, N) → s(plus(activate(N), activate(M)))
U61(tt) → 0'
U71(tt, M, N) → plus(x(activate(N), activate(M)), activate(N))
and(tt, X) → activate(X)
isNat(n__0) → tt
isNat(n__plus(V1, V2)) → U11(and(isNatKind(activate(V1)), n__isNatKind(activate(V2))), activate(V1), activate(V2))
isNat(n__s(V1)) → U21(isNatKind(activate(V1)), activate(V1))
isNat(n__x(V1, V2)) → U31(and(isNatKind(activate(V1)), n__isNatKind(activate(V2))), activate(V1), activate(V2))
isNatKind(n__0) → tt
isNatKind(n__plus(V1, V2)) → and(isNatKind(activate(V1)), n__isNatKind(activate(V2)))
isNatKind(n__s(V1)) → isNatKind(activate(V1))
isNatKind(n__x(V1, V2)) → and(isNatKind(activate(V1)), n__isNatKind(activate(V2)))
plus(N, 0') → U41(and(isNat(N), n__isNatKind(N)), N)
plus(N, s(M)) → U51(and(and(isNat(M), n__isNatKind(M)), n__and(n__isNat(N), n__isNatKind(N))), M, N)
x(N, 0') → U61(and(isNat(N), n__isNatKind(N)))
x(N, s(M)) → U71(and(and(isNat(M), n__isNatKind(M)), n__and(n__isNat(N), n__isNatKind(N))), M, N)
0' → n__0
plus(X1, X2) → n__plus(X1, X2)
isNatKind(X) → n__isNatKind(X)
s(X) → n__s(X)
x(X1, X2) → n__x(X1, X2)
and(X1, X2) → n__and(X1, X2)
isNat(X) → n__isNat(X)
activate(n__0) → 0'
activate(n__plus(X1, X2)) → plus(activate(X1), activate(X2))
activate(n__isNatKind(X)) → isNatKind(X)
activate(n__s(X)) → s(activate(X))
activate(n__x(X1, X2)) → x(activate(X1), activate(X2))
activate(n__and(X1, X2)) → and(activate(X1), X2)
activate(n__isNat(X)) → isNat(X)
activate(X) → X

Types:
U11 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and
tt :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and
U12 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and
isNat :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and
activate :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and
U13 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and
U21 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and
U22 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and
U31 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and
U32 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and
U33 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and
U41 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and
U51 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and
s :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and
plus :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and
U61 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and
0' :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and
U71 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and
x :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and
and :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and
n__0 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and
n__plus :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and
isNatKind :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and
n__isNatKind :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and
n__s :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and
n__x :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and
n__and :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and
n__isNat :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and
hole_tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and1_4 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and
gen_tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and2_4 :: Nat → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and

Lemmas:
activate(gen_tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and2_4(+(1, n27714_4))) → *3_4, rt ∈ Ω(n277144)

Generator Equations:
gen_tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and2_4(0) ⇔ tt
gen_tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and2_4(+(x, 1)) ⇔ n__plus(gen_tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and2_4(x), tt)

The following defined symbols remain to be analysed:
and

They will be analysed ascendingly in the following order:
isNat = activate
isNat = U41
isNat = plus
isNat = x
isNat = and
isNat = isNatKind
activate = U41
activate = plus
activate = x
activate = and
activate = isNatKind
U41 = plus
U41 = x
U41 = and
U41 = isNatKind
plus = x
plus = and
plus = isNatKind
x = and
x = isNatKind
and = isNatKind

(24) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol and.

(25) Obligation:

TRS:
Rules:
U11(tt, V1, V2) → U12(isNat(activate(V1)), activate(V2))
U12(tt, V2) → U13(isNat(activate(V2)))
U13(tt) → tt
U21(tt, V1) → U22(isNat(activate(V1)))
U22(tt) → tt
U31(tt, V1, V2) → U32(isNat(activate(V1)), activate(V2))
U32(tt, V2) → U33(isNat(activate(V2)))
U33(tt) → tt
U41(tt, N) → activate(N)
U51(tt, M, N) → s(plus(activate(N), activate(M)))
U61(tt) → 0'
U71(tt, M, N) → plus(x(activate(N), activate(M)), activate(N))
and(tt, X) → activate(X)
isNat(n__0) → tt
isNat(n__plus(V1, V2)) → U11(and(isNatKind(activate(V1)), n__isNatKind(activate(V2))), activate(V1), activate(V2))
isNat(n__s(V1)) → U21(isNatKind(activate(V1)), activate(V1))
isNat(n__x(V1, V2)) → U31(and(isNatKind(activate(V1)), n__isNatKind(activate(V2))), activate(V1), activate(V2))
isNatKind(n__0) → tt
isNatKind(n__plus(V1, V2)) → and(isNatKind(activate(V1)), n__isNatKind(activate(V2)))
isNatKind(n__s(V1)) → isNatKind(activate(V1))
isNatKind(n__x(V1, V2)) → and(isNatKind(activate(V1)), n__isNatKind(activate(V2)))
plus(N, 0') → U41(and(isNat(N), n__isNatKind(N)), N)
plus(N, s(M)) → U51(and(and(isNat(M), n__isNatKind(M)), n__and(n__isNat(N), n__isNatKind(N))), M, N)
x(N, 0') → U61(and(isNat(N), n__isNatKind(N)))
x(N, s(M)) → U71(and(and(isNat(M), n__isNatKind(M)), n__and(n__isNat(N), n__isNatKind(N))), M, N)
0' → n__0
plus(X1, X2) → n__plus(X1, X2)
isNatKind(X) → n__isNatKind(X)
s(X) → n__s(X)
x(X1, X2) → n__x(X1, X2)
and(X1, X2) → n__and(X1, X2)
isNat(X) → n__isNat(X)
activate(n__0) → 0'
activate(n__plus(X1, X2)) → plus(activate(X1), activate(X2))
activate(n__isNatKind(X)) → isNatKind(X)
activate(n__s(X)) → s(activate(X))
activate(n__x(X1, X2)) → x(activate(X1), activate(X2))
activate(n__and(X1, X2)) → and(activate(X1), X2)
activate(n__isNat(X)) → isNat(X)
activate(X) → X

Types:
U11 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and
tt :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and
U12 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and
isNat :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and
activate :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and
U13 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and
U21 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and
U22 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and
U31 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and
U32 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and
U33 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and
U41 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and
U51 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and
s :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and
plus :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and
U61 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and
0' :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and
U71 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and
x :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and
and :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and
n__0 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and
n__plus :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and
isNatKind :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and
n__isNatKind :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and
n__s :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and
n__x :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and
n__and :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and
n__isNat :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and
hole_tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and1_4 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and
gen_tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and2_4 :: Nat → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and

Lemmas:
activate(gen_tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and2_4(+(1, n27714_4))) → *3_4, rt ∈ Ω(n277144)

Generator Equations:
gen_tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and2_4(0) ⇔ tt
gen_tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and2_4(+(x, 1)) ⇔ n__plus(gen_tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and2_4(x), tt)

No more defined symbols left to analyse.

(26) LowerBoundsProof (EQUIVALENT transformation)

The lowerbound Ω(n1) was proven with the following lemma:
activate(gen_tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and2_4(+(1, n27714_4))) → *3_4, rt ∈ Ω(n277144)

(27) BOUNDS(n^1, INF)

(28) Obligation:

TRS:
Rules:
U11(tt, V1, V2) → U12(isNat(activate(V1)), activate(V2))
U12(tt, V2) → U13(isNat(activate(V2)))
U13(tt) → tt
U21(tt, V1) → U22(isNat(activate(V1)))
U22(tt) → tt
U31(tt, V1, V2) → U32(isNat(activate(V1)), activate(V2))
U32(tt, V2) → U33(isNat(activate(V2)))
U33(tt) → tt
U41(tt, N) → activate(N)
U51(tt, M, N) → s(plus(activate(N), activate(M)))
U61(tt) → 0'
U71(tt, M, N) → plus(x(activate(N), activate(M)), activate(N))
and(tt, X) → activate(X)
isNat(n__0) → tt
isNat(n__plus(V1, V2)) → U11(and(isNatKind(activate(V1)), n__isNatKind(activate(V2))), activate(V1), activate(V2))
isNat(n__s(V1)) → U21(isNatKind(activate(V1)), activate(V1))
isNat(n__x(V1, V2)) → U31(and(isNatKind(activate(V1)), n__isNatKind(activate(V2))), activate(V1), activate(V2))
isNatKind(n__0) → tt
isNatKind(n__plus(V1, V2)) → and(isNatKind(activate(V1)), n__isNatKind(activate(V2)))
isNatKind(n__s(V1)) → isNatKind(activate(V1))
isNatKind(n__x(V1, V2)) → and(isNatKind(activate(V1)), n__isNatKind(activate(V2)))
plus(N, 0') → U41(and(isNat(N), n__isNatKind(N)), N)
plus(N, s(M)) → U51(and(and(isNat(M), n__isNatKind(M)), n__and(n__isNat(N), n__isNatKind(N))), M, N)
x(N, 0') → U61(and(isNat(N), n__isNatKind(N)))
x(N, s(M)) → U71(and(and(isNat(M), n__isNatKind(M)), n__and(n__isNat(N), n__isNatKind(N))), M, N)
0' → n__0
plus(X1, X2) → n__plus(X1, X2)
isNatKind(X) → n__isNatKind(X)
s(X) → n__s(X)
x(X1, X2) → n__x(X1, X2)
and(X1, X2) → n__and(X1, X2)
isNat(X) → n__isNat(X)
activate(n__0) → 0'
activate(n__plus(X1, X2)) → plus(activate(X1), activate(X2))
activate(n__isNatKind(X)) → isNatKind(X)
activate(n__s(X)) → s(activate(X))
activate(n__x(X1, X2)) → x(activate(X1), activate(X2))
activate(n__and(X1, X2)) → and(activate(X1), X2)
activate(n__isNat(X)) → isNat(X)
activate(X) → X

Types:
U11 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and
tt :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and
U12 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and
isNat :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and
activate :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and
U13 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and
U21 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and
U22 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and
U31 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and
U32 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and
U33 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and
U41 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and
U51 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and
s :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and
plus :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and
U61 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and
0' :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and
U71 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and
x :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and
and :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and
n__0 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and
n__plus :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and
isNatKind :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and
n__isNatKind :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and
n__s :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and
n__x :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and
n__and :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and
n__isNat :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and
hole_tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and1_4 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and
gen_tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and2_4 :: Nat → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and

Lemmas:
activate(gen_tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and2_4(+(1, n27714_4))) → *3_4, rt ∈ Ω(n277144)

Generator Equations:
gen_tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and2_4(0) ⇔ tt
gen_tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and2_4(+(x, 1)) ⇔ n__plus(gen_tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and2_4(x), tt)

No more defined symbols left to analyse.

(29) LowerBoundsProof (EQUIVALENT transformation)

The lowerbound Ω(n1) was proven with the following lemma:
activate(gen_tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__isNat:n__and2_4(+(1, n27714_4))) → *3_4, rt ∈ Ω(n277144)

(30) BOUNDS(n^1, INF)